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Variación de parámetros a cualquier orden: wronskiano y regla de Cramer

2026-08-05

El método de variación de parámetros resuelve una ecuación diferencial lineal no homogénea a partir de la solución de su parte homogénea, sin adivinar la forma de la particular. Suele presentarse para ecuaciones de segundo orden, pero la misma idea se extiende sin cambios a cualquier orden $n$: basta sustituir el par de funciones de la base por las $n$ que la forman, y el determinante $2\times 2$ por uno $n\times n$.

Sea la ecuación lineal $$y^{(n)} + p_{n-1}(x)\,y^{(n-1)} + \dots + p_0(x)\,y = g(x),$$ ya normalizada con coeficiente principal $1$, y sea $\{y_1,\dots,y_n\}$ una base de soluciones de la homogénea. Se busca la particular con esa misma base, dejando variar las constantes: $$y_p = u_1(x)\,y_1 + \dots + u_n(x)\,y_n.$$ Como hay $n$ funciones incógnita, se imponen $n-1$ condiciones de comodidad —anular las combinaciones de las derivadas sucesivas de la base— y se reserva la última para la ecuación; queda un sistema lineal en las derivadas $u_i'$.

El wronskiano. Ese sistema tiene por matriz la de las derivadas de la base, y su determinante es el wronskiano $$W = \begin{vmatrix} y_1 & \cdots & y_n \\ y_1' & \cdots & y_n' \\ \vdots & & \vdots \\ y_1^{(n-1)} & \cdots & y_n^{(n-1)} \end{vmatrix}.$$ Por la regla de Cramer, cada derivada es $$u_i' = \frac{g\,W_i}{W},$$ donde $W_i$ es el wronskiano con su columna $i$ sustituida por $(0,\dots,0,1)^{\mathsf T}$. Basta integrar las $n$ expresiones para tener las $u_i$, y con ellas la particular $y_p=\sum_i u_i y_i$. Toda la dificultad se traslada, como en segundo orden, a resolver integrales.

Por ejemplo, para $y^{(3)} - 6y'' + 11y' - 6y = e^{x}$ la base homogénea es $\{e^{x}, e^{2x}, e^{3x}\}$: el wronskiano es un determinante $3\times 3$ y, tras aplicar Cramer e integrar, se obtiene la particular. El término independiente puede ser cualquiera —también $\tan x$ o $\sec x$, donde coeficientes indeterminados no cierra en una base finita—, porque el método solo exige saber integrar.

La variación de parámetros generalizada convive con coeficientes indeterminados: cuando el término independiente es sencillo ambos llegan a la misma particular, y cuando no lo es, la variación de parámetros es la única de las dos que funciona, a cualquier orden. En la calculadora, al introducir una ecuación lineal no homogénea de orden 2, 3 o 4 en el operador de ecuaciones diferenciales, la vía de variación de parámetros muestra la base homogénea, el wronskiano como determinante y las $n$ integrales desarrolladas paso a paso. En primer orden el método coincide con el factor integrante, que ya se ofrece como su propio método.