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Transformada de Laplace: definición, cálculo y ejemplos

2026-06-30

La transformada de Laplace de una señal causal $f(t)$ se define como $$F(s) = \int_{0}^{\infty} f(t)\,e^{-st}\,dt.$$ Es pariente de la transformada de Fourier, pero pensada para señales definidas en $t\ge0$: el factor $e^{-st}$ amortigua el integrando, por lo que converge para muchas más funciones, incluidas las que crecen exponencialmente.

Su cálculo es, en el fondo, el de una integral impropia con un parámetro $s$: se combinan las exponenciales, se halla la primitiva (por partes o sustitución) y se aplica la regla de Barrow entre $0$ e $\infty$. Así, $\mathcal{L}\{e^{-3t}\} = \tfrac{1}{s+3}$ sale de una integral inmediata, y $\mathcal{L}\{t^2\} = \tfrac{2}{s^3}$ de una doble integración por partes.

Su propiedad más útil es el efecto sobre las derivadas: $\mathcal{L}\{f'\} = s\,F(s) - f(0)$. Cada derivada se vuelve un factor de $s$ que arrastra el valor inicial, de modo que una ecuación diferencial con condiciones iniciales se convierte en una ecuación algebraica: resolver pasa a ser despejar un cociente de polinomios y antitransformar. De ahí su papel central en teoría de control, circuitos y sistemas dinámicos.

De dónde sale la regla de la derivada. La identidad $\mathcal{L}\{f'\}=sF(s)-f(0)$ es una integración por partes. Por definición, $\mathcal{L}\{f'\}=\int_0^\infty f'(t)\,e^{-st}\,dt$; tomando $u=e^{-st}$ y $dv=f'\,dt$ (de modo que $v=f$), $$\int_0^\infty f'\,e^{-st}\,dt = \bigl[f(t)\,e^{-st}\bigr]_0^\infty + s\int_0^\infty f\,e^{-st}\,dt.$$ El término de frontera vale $0 - f(0) = -f(0)$ —el factor $e^{-st}$ apaga $f$ en el infinito para $s$ suficientemente grande— y la integral que queda es $sF(s)$. De ahí $\mathcal{L}\{f'\}=sF(s)-f(0)$; aplicándola dos veces sale la de $f''$, con el $-s\,f(0)-f'(0)$ que arrastra las dos condiciones iniciales.

La calculadora de transformada de Laplace de MathOperator computa cada transformada de forma simbólica —sin tablas precargadas— y muestra el desarrollo de la integral paso a paso. Pueden probarse exp(-3*t), sin(2*t), t^2 o t*exp(-t); los pares de uso común están recogidos en la tabla de Laplace.