← Blog

Sumatorios a partir de la serie geométrica: derivar término a término

2026-06-25

La serie geométrica es el punto de partida de toda una familia de sumatorios. Su suma parcial se obtiene por el método telescópico —restar $S_N - r\,S_N$ colapsa casi todos los términos— y el límite $N\to\infty$ da la fórmula $\sum r^n = \tfrac{1}{1-r}$, válida bajo la condición de convergencia $|r| < 1$.

Las series aritmético-geométricas $\sum n^k r^n$ se deducen de ella derivando término a término: cada aplicación del operador $r\tfrac{d}{dr}$ multiplica el término general por $n$, de modo que $k$ aplicaciones sobre la geométrica producen la suma buscada. El procedimiento funciona igual con razón simbólica que numérica, sustituyendo el valor al final.

Por qué se puede derivar término a término. Sumar las derivadas de una serie infinita no siempre da la derivada de la suma, pero sí dentro del radio de convergencia de una serie de potencias. Para $|r|<1$, la geométrica $\sum r^n$ converge uniformemente en cada disco $|r|\le\rho<1$, y un teorema clásico garantiza que ahí define una función analítica que puede derivarse (y sumarse) término a término sin alterar el resultado. Por eso aplicar $r\tfrac{d}{dr}$ a $\sum r^n=\tfrac{1}{1-r}$ es legítimo y produce $\sum n\,r^n=\tfrac{r}{(1-r)^2}$, y cada nueva aplicación añade un factor $n$ al término general.

La calculadora de sumatorios de MathOperator desarrolla ambos pasos —la suma parcial telescópica y cada derivación con su regla— y define de forma discreta las funciones especiales cuando aparecen (Fresnel, $\Gamma$, $\operatorname{erf}$). Pueden probarse r^n, (1/2)^n * n^3 o la suma de Basilea 1/n^2.