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Cómo sumar series con el teorema de los residuos

2026-06-30

Algunas series numéricas tienen un valor exacto sorprendente que los métodos reales no explican. Un ejemplo representativo: $$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{1+n^2} = \frac12 + \frac{\pi}{2\tanh\pi} \approx 2.077.$$ El origen de ese $\tanh$ está en el teorema de los residuos.

El método se basa en que la función $\pi\cot(\pi z)$ tiene un polo con residuo 1 en cada entero. Integrando $\pi\cot(\pi z)\,f(z)$ sobre un contorno que crece, la suma sobre todos los enteros queda ligada a los residuos en los polos de $f$: $$\sum_{n=-\infty}^{\infty} f(n) = -\sum_{z_k}\operatorname{Res}\!\left[\pi\cot(\pi z)\,f(z),\,z_k\right].$$ Para $f(z)=\tfrac{1}{1+z^2}$ los polos son $z=\pm i$ y los residuos suman $\pi\coth\pi$; al ser $f$ par, la suma desde $n=0$ se recupera por simetría con $\sum_{n\ge0} = \tfrac12(S+f(0))$.

Por qué el núcleo tiene residuo 1 en cada entero. Cerca de un entero $n$, $\cot(\pi z)=\tfrac{\cos\pi z}{\sin\pi z}$ tiene un polo simple, porque $\sin(\pi z)$ se anula ahí con derivada no nula. Por la fórmula del residuo en un polo simple ($N/D'$), $$\operatorname{Res}\bigl[\pi\cot(\pi z),\,n\bigr] = \frac{\pi\cos(\pi n)}{\left.(\sin\pi z)'\right|_{z=n}} = \frac{\pi\cos(\pi n)}{\pi\cos(\pi n)} = 1.$$ Ese residuo constante e igual a 1 en todos los enteros es lo que hace que $\oint \pi\cot(\pi z)\,f(z)\,dz$, al crecer el contorno, recoja la suma $\sum_n f(n)$ (más los residuos en los polos de $f$): de ahí la fórmula de arriba. El núcleo alternado $\tfrac{\pi}{\sin(\pi z)}$ se analiza igual y da residuo $(-1)^n$.

Para las series alternadas basta cambiar de núcleo: $\tfrac{\pi}{\sin(\pi z)}$ tiene residuo $(-1)^n$ en cada entero, y con él $$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{1+n^2} = \frac12 + \frac{\pi}{2\sinh\pi} \approx 0.636.$$ El hiperbólico cambia de $\tanh$ a $\sinh$ con el núcleo.

La calculadora de sumatorios de MathOperator aplica este método —el mismo motor de residuos que usa para las integrales impropias— y desarrolla el contorno, los polos y cada residuo. Pueden probarse 1/(1+n^2) from 0 to oo y (-1)^n/(1+n^2) from 0 to oo.