Resolver ecuaciones

¿Qué es resolver una ecuación?

Resolver una ecuación es hallar los valores de la incógnita que hacen cierta la igualdad. La estrategia depende del tipo: no se ataca igual una ecuación de tercer grado que una exponencial o una trigonométrica. Esta calculadora clasifica la ecuación y aplica el método clásico correspondiente, desarrollando cada paso.

Ecuaciones polinómicas: Ruffini y ramificación de métodos

Para grado 3 o superior se empieza por la regla de Ruffini: se prueban las raíces racionales candidatas ($\pm$ divisores del término independiente entre divisores del coeficiente principal) y, al encontrar una, la división sintética rebaja el grado. Cuando queda un factor de segundo grado, hay dos vías: aplicar la fórmula cuadrática $x=\tfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ o seguir con Ruffini si tiene otra raíz racional. La calculadora muestra ambas ramas. Las bicuadradas $ax^4+bx^2+c=0$ se resuelven con el cambio $t=x^2$.

Racionales, radicales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas

Una ecuación racional se anula cuando lo hace su numerador, descartando los valores que anulan el denominador. En una ecuación con radicales se aísla la raíz y se eleva al cuadrado, comprobando después para descartar soluciones extrañas. Las exponenciales se resuelven tomando logaritmos, o con el cambio $t=e^x$ cuando son polinómicas en la exponencial. Las logarítmicas aplican las propiedades del logaritmo y exigen comprobar el dominio (argumentos positivos). Las trigonométricas dan una solución general periódica, del tipo $x = \tfrac{\pi}{6}+2\pi n$.

Ejemplos que puedes probar

Escribe x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0 para ver Ruffini con la ramificación de métodos, x^4 - 5x^2 + 4 = 0 para una bicuadrada, sqrt(x+1) = x - 1 para el descarte de soluciones extrañas, 2^x = 8 para una exponencial, log(x) + log(x-3) = 1 para una logarítmica o sin(x) = 1/2 para la solución general trigonométrica.

Preguntas frecuentes

¿Cuándo conviene Ruffini y cuándo la fórmula? Ruffini rebaja el grado buscando raíces racionales; en cuanto queda un grado 2, la fórmula cuadrática cierra el problema. ¿Por qué comprobar las soluciones? Al elevar al cuadrado o al eliminar denominadores pueden aparecer soluciones extrañas que no cumplen la ecuación original. ¿Por qué las trigonométricas tienen infinitas soluciones? Porque las funciones trigonométricas son periódicas: la solución general añade el periodo, $+2\pi n$ o $+\pi n$.

Ejemplos

Polinómicas (Ruffini y fórmula cuadrática)

• x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0
• x^2 - 5x + 6 = 0
• x^4 - 5x^2 + 4 = 0
• 2x^3 - 3x^2 - 11x + 6 = 0

Racionales y con radicales

• 1/(x-1) + 1/x = 3/2
• sqrt(x+1) = x - 1
• sqrt(2x+3) = x
• x/(x-2) = 3

Exponenciales y logarítmicas

• 2^x = 8
• 3^(x+1) = 27
• log(x) + log(x-3) = 1
• e^(2x) - 3e^x + 2 = 0

Trigonométricas

• sin(x) = 1/2
• cos(2x) = 0
• 2*sin(x)^2 - 1 = 0
• tan(x) = 1