Topología en ℝ

Clausura, interior, frontera, exterior y derivado de un subconjunto de la recta real, con la topología usual.

La topología usual de R\mathbb{R}

En la recta real, los abiertos son las uniones de intervalos abiertos (a,b)(a,b). Sobre esa topología se define todo el análisis. Aquí introduces un subconjunto como unión de intervalos y puntos —por ejemplo (0,1)∪{2}(0,1)\cup\{2\}— y calculamos sus operaciones topológicas.

Clausura, interior, frontera

El interior A∘A^{\circ} quita a los intervalos sus extremos; la clausura A‾\overline{A} se los añade (y suma los puntos de acumulación); la frontera ∂A=A‾∖A∘\partial A = \overline{A}\setminus A^{\circ} son esos extremos y los puntos aislados. También el exterior (R∖A)∘(\mathbb{R}\setminus A)^{\circ} y el derivado A′A' (puntos de acumulación).

¿Cómo se calcula?

MathOperator usa el motor de conjuntos de SymPy: opera con intervalos y puntos exactos y comprueba si AA es abierto, cerrado, denso, acotado o compacto (por Heine-Borel: cerrado y acotado).

Ejemplos que puedes probar

Escribe (0,1) ∪ {2} (un intervalo abierto con un punto aislado), [0,1) ∪ (2,3] (semiabiertos), {1,2,3} (un conjunto finito, que es compacto) o R para toda la recta.

Para qué sirve

Distinguir abierto de cerrado, o hallar la clausura y la frontera, es la base de la continuidad, los límites y la convergencia en análisis real, y del cálculo de dominios y regiones.