Espacio topológico finito

Introduce un espacio topológico finito y calcula clausura, interior, frontera, exterior y conjunto derivado de un subconjunto, con las propiedades del espacio.

¿Qué es un espacio topológico?

Un espacio topológico es un conjunto $X$ junto con una familia $\tau$ de subconjuntos (los abiertos) que contiene a $\varnothing$ y a $X$ y es cerrada por uniones e intersecciones. Es la estructura mínima para hablar de "cercanía" sin necesidad de distancias: generaliza la recta real y sustenta el análisis y la geometría modernas.

Clausura, interior y frontera

Dado un subconjunto $A \subseteq X$ : su interior $A^{\circ}$ es el mayor abierto contenido en $A$ ; su clausura $\overline{A}$ es el menor cerrado que lo contiene; y su frontera $\partial A = \overline{A} \setminus A^{\circ}$ son los puntos "de borde". El conjunto derivado $A'$ reúne los puntos de acumulación (todo entorno los rodea de puntos de $A$ ).

¿Cómo se calcula?

MathOperator trabaja con espacios finitos, donde todo es exacto y computable por definición: recorre los abiertos y cerrados y aplica las fórmulas conjuntistas. Además comprueba si $A$ es abierto, cerrado, clopen o denso, y clasifica el espacio (axiomas de separación $T_0$ , $T_1$ , $T_2$ de Hausdorff, y conexión). Si lo que introduces no es una topología, usa la que genera (cierre por uniones e intersecciones).

Ejemplos que puedes probar

Escribe {{},{1},{1,2},{1,2,3}} ; {2} (una cadena, espacio $T_0$ y conexo), {{},{a},{b},{a,b}} ; {a} (la topología discreta, donde {a} es clopen y el espacio es de Hausdorff), o {{},{1},{2,3}} ; {1,2} para ver cómo se genera la topología cuando falta algún abierto.

Para qué sirve

La topología es el lenguaje de la continuidad y la convergencia: cimienta el análisis, la geometría, el análisis funcional y la topología algebraica. Los espacios finitos, además, modelan órdenes parciales y aparecen en topología computacional y análisis de datos.