Integrales que se resuelven por simetría

2026-07-01

Hay integrales preciosas que no tienen primitiva elemental y, aun así, valen un número exacto: basta con mirarlas con los ojos correctos. MathOperator estrena un par de herramientas que saltan como comprobación posterior —solo cuando el método normal no da un desarrollo limpio—.

La primera es la reflexión del intervalo. Con el cambio $x\to a+b-x$, que refleja $[a,b]$ en sí mismo, se tiene $\int_a^b g(x)\,dx = \int_a^b g(a+b-x)\,dx$; sumando las dos formas, $$2\int_a^b g\,dx = \int_a^b\bigl[g(x)+g(a+b-x)\bigr]\,dx.$$ Si el integrando es un polinomio en $x$ por una función simétrica, la reflexión cancela la parte que estorba. El ejemplo de manual: $$\int_0^\pi\frac{x}{1+\cos^2 x}\,dx = \frac{\pi}{2}\int_0^\pi\frac{dx}{1+\cos^2 x} = \frac{\sqrt{2}\,\pi^2}{4}.$$ Solo cierra limpio cuando la $x$ desaparece del todo (potencias impares); con $x^2$ la reflexión la regenera, así que el detector lo descarta él solo.

La segunda es la sustitución de Weierstrass $t=\tan\tfrac{x}{2}$, que vuelve racional cualquier integral de senos y cosenos: $\sin x=\tfrac{2t}{1+t^2}$, $\cos x=\tfrac{1-t^2}{1+t^2}$. Así $\int_0^\pi\frac{dx}{1+\cos^2 x}$ se convierte en $\int_0^\infty\frac{t^2+1}{t^4+1}\,dt$, que resolvemos por fracciones simples —terreno bien trillado— sin los trucos de «multiplicar y dividir por el seno» ni las ramas del $\arctan(\tan x)$.

Y encajan entre sí: la reflexión reduce la integral a una trigonométrica y Weierstrass la remata, con todos los pasos anidados. Además, toda integral se comprueba —derivando la primitiva o contrastando el valor numéricamente—. Quedan más simetrías por enseñar (la paridad en $[-a,a]$, el intercambio $\sin\leftrightarrow\cos$ en $[0,\tfrac{\pi}{2}]$, la autoreciprocidad $x\to a/x$…): poco a poco.