La ecuación de Riccati: con una solución particular, se rinde

2026-07-09

La ecuación de Riccati, $y' = q_0(x) + q_1(x)\,y + q_2(x)\,y^{2}$, es la EDO cuadrática de primer orden. A diferencia de la lineal, no tiene fórmula general… salvo que conozcas una solución particular $y_1$. Y ahí está la gracia: muchas veces $y_1$ se adivina por tanteo —una constante, $a x + b$, $a/x$…— y comprobarla en la ecuación es inmediato.

Con esa $y_1$ en la mano, el cambio $y = y_1 + \dfrac{1}{z}$ obra el milagro. Al sustituir y agrupar, la parte cuadrática se cancela con la que aporta $y_1$ (que ya cumple la ecuación) y queda una ecuación lineal en $z$: $$z' + \bigl(q_1 + 2q_2 y_1\bigr)z = -q_2.$$ Esa sí sabemos cerrarla con un factor integrante; luego deshacemos el cambio con $y = y_1 + 1/z$.

Lo bonito es que esta vía es más robusta que un solver genérico: al apoyarnos en la solución particular resolvemos casos que el motor general deja sin cerrar. Por ejemplo $y' = y^2 - x^2 + 1$ tiene la sencilla particular $y_1 = x$ (compruébalo: $1 = x^2 - x^2 + 1$), y de ahí sale $$y = x + \frac{e^{x^2}}{C_1 - \tfrac{\sqrt{\pi}}{2}\operatorname{erfi}(x)}.$$ Ese $\operatorname{erfi}$ es la función error imaginaria, $\operatorname{erfi}(x) = \tfrac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^{x} e^{t^{2}}\,dt$: la primitiva (no elemental) de $e^{t^2}$, que aparece porque el factor integrante de la lineal en $z$ es justamente $e^{x^2}$. Todo, como siempre, con los pasos bien explicados y la solución comprobada. Pruébalo con y' = y^2 - x^2 + 1, o con la racional y' = y^2 - 2/x^2.