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Ecuación de Bernoulli: resolución paso a paso con el cambio v = y^(1−n)

2026-07-08

La ecuación de Bernoulli tiene la forma $y' + P(x)\,y = Q(x)\,y^{n}$. Para $n = 0$ o $n = 1$ es lineal; el caso interesante es $n \neq 0,1$, donde el término $y^{n}$ la hace no lineal. Fue planteada por Jacob Bernoulli en 1695, y el método clásico de resolución se debe a Leibniz.

El procedimiento: dividir toda la ecuación entre $y^{n}$, $$y^{-n}y' + P(x)\,y^{1-n} = Q(x),$$ y aplicar el cambio $v = y^{1-n}$. Como $v' = (1-n)\,y^{-n}y'$, el primer término es $\dfrac{v'}{1-n}$ y la ecuación se vuelve lineal en $v$: $$v' + (1-n)P(x)\,v = (1-n)Q(x).$$

La lineal resultante se resuelve con el factor integrante $\mu = e^{\int (1-n)P\,dx}$, y al final se deshace el cambio con $y = v^{1/(1-n)}$. Por ejemplo, $y' + y = y^2$ (con $P=Q=1$ y $n=2$) se transforma en $v' - v = -1$, de solución $v = C_1e^{x}+1$, y por tanto $y = \dfrac{1}{C_1 e^{x} + 1}$.

La calculadora de ecuaciones diferenciales de MathOperator desarrolla el método completo —el cambio, la lineal y el factor integrante— y comprueba la solución. Pueden probarse y' + y = y^2, x*y' + y = x*y^2 o y' - y = -y^3.