La ecuación de Bernoulli: un cambio de variable la vuelve lineal

2026-07-08

La ecuación de Bernoulli tiene la forma $y' + P(x)\,y = Q(x)\,y^{n}$. Si $n = 0$ o $n = 1$ es lineal; el interés está en $n \neq 0,1$, donde el término $y^{n}$ la hace no lineal. La resolvió Jacob Bernoulli en 1695, y el método que seguimos —debido a Leibniz— es de una elegancia total.

La idea: divide toda la ecuación entre $y^{n}$, $$y^{-n}y' + P(x)\,y^{1-n} = Q(x),$$ y haz el cambio $v = y^{1-n}$. Como $v' = (1-n)\,y^{-n}y'$, el primer término es justo $\dfrac{v'}{1-n}$, y la ecuación se vuelve lineal en $v$: $$v' + (1-n)P(x)\,v = (1-n)Q(x).$$

Esa lineal se resuelve por factor integrante $\mu = e^{\int (1-n)P\,dx}$, y al final se deshace el cambio con $y = v^{1/(1-n)}$. Por ejemplo, $y' + y = y^2$ (aquí $P=Q=1$, $n=2$) se convierte en $v' - v = -1$ y sale $y = \dfrac{1}{C_1 e^{x} + 1}$. Pruébalo con y' + y = y^2, o con x*y' + y = x*y^2 y y' - y = -y^3. Con los pasos completos y la solución comprobada.